ru.wikipedia.org

Система счисления — Википедия

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на:

позиционные;
непозиционные;
смешанные.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Под позиционной системой счисления обычно понимается однородная $b$ -ичная система счисления, которая определяется целым числом $b>1$ , называемым «основанием» системы счисления. Целое число без знака $x$ в такой $b$ -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа $b$ :

$x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}$ , где $a_{k}$ — это целые числа, называемые «цифрами», удовлетворяющие неравенству $0\leq a_{k}\leq (b-1)$ .

Каждая степень $b^{k}$ в такой записи называется «весовым коэффициентом разряда». Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя $k$ (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число $x$ записывают в виде последовательности его $b$ -ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

$x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.$

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

$103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.$

Наиболее часто употребляемыми в настоящее время однородными позиционными системами являются:

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
3 — троичная;
4 — четверичная^[1] (кватричная)^[2];
5 — пятиричная^[3];
8 — восьмеричная;
10 — десятичная (используется повсеместно);
12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
20 — двадцатеричная;
60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанная система счисления является обобщением $b$ -ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ , и каждое число $x$ в ней представляется как линейная комбинация:

$x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}$ , где на коэффициенты $a_{k}$ , называемые как и прежде «цифрами», накладываются некоторые ограничения.

Записью числа $x$ в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса $k$ , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида $b_{k}$ как функции от $k$ смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными. Когда $b_{k}=b^{k}$ для некоторого $b$ , смешанная система счисления совпадает с показательной $b$ -ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « $d$ дней, $h$ часов, $m$ минут, $s$ секунд» соответствует значению $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$ секунд.

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов $b_{k}=k!$ , и каждое натуральное число $x$ представляется в виде:

$x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!$ , где $0\leq d_{k}\leq k$ .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: номер перестановки (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе $i!$ будет обозначать число инверсий для элемента $i+1$ в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших $i+1$ , но стоящих правее его в искомой перестановке).

Пример: рассмотрим множество перестановок из пяти элементов, всего их — 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём перестановку с номером 100:

$100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;$

положим $t_{i}$ — коэффициент при числе $i!$ , тогда $t_{4}=4$ , $t_{3}=0$ , $t_{2}=2$ , $t_{1}=0$ , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, перестановка с номером 100 будет иметь вид: (5,3,1,2,4). Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число $n$ в ней представляется в виде:

$n=\sum _{k}f_{k}F_{k}$ , где $F_{k}$ — числа Фибоначчи, $f_{k}\in \{0,1\}$ , при этом в коэффициентах $f_{k}$ есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

К наиболее распространённым сегодня непозиционным системам счисления относятся римские цифры.

В биномиальной системе счисления^[англ.] число x представляется в виде суммы биномиальных коэффициентов:

$x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}$ , где $0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.$

При всяком фиксированном значении $n$ каждое натуральное число представляется уникальным образом^[4].

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ с произведением $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ так, что каждому целому числу $x$ из отрезка $[0,M-1]$ ставится в соответствие набор вычетов $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ , где

$x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};$

$x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};$

…

$x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.$

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка $[0,M-1]$ .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в $[0,M-1]$ .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$ .

Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.

↑ девять // Этимологический словарь русского языка = Russisches etymologisches Wörterbuch : в 4 т. / авт.-сост. М. Фасмер ; пер. с нем. и доп. чл.‑кор. АН СССР О. Н. Трубачёва, под ред. и с предисл. проф. Б. А. Ларина [т. I]. — Изд. 2-е, стер. — М. : Прогресс, 1986—1987. «С девяти начинается новый отрезок счёта, в то время как и.-е. *ok̂tōu „восемь“ своей формой двойств. числа свидетельствует о древнем четверичном счёте»
↑ Мод Ривер. Кватричная система счисления // https://7universum.com Universum: технические науки : Научный журнал. — Москва: Изд. «МЦНО», 2021. — 83 (2) (т. Часть 1). — С. 23-26. — ISSN 2311-5122. — doi:10.32743/UniTech.2021.83.2-1. Архивировано 24 апреля 2022 года.
↑ Римская система счёта
↑ Ландо С. К. Глава 1. Задача 1.13 // Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр.. — М.: МЦНМО, 2007. — 144 с. — ISBN 978-5-94057-042-4. (недоступная ссылка)

Гашков С. Б. Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine
Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).
Яглом И. Системы счисления // Квант. — 1970. — № 6. — С. 2—10.
Цифры и системы счисления. Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
Стахов А. Роль систем счисления в истории компьютеров. Архивировано 1 мая 2009 года.
Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций «Цифровые устройства и микропроцессоры»
Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел