ru.wikipedia.org

Среднее степенное — Википедия

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} определяется как

{\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}.}

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

{\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};}
{\displaystyle A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};}
{\displaystyle A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена:

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

{\displaystyle \operatorname {max} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n});}
{\displaystyle \operatorname {min} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n}).}

Неравенство о средних утверждает, что для любых {\displaystyle d_{1}>d_{2}}

{\displaystyle A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})},

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов {\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная {\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})} по {\displaystyle d} неотрицательна и обращается в ноль только при {\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}} (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

[править | править код]

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

{\displaystyle \max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},}

где каждое из неравенств обращается в равенство только при {\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}.