ru.wikipedia.org

Теорема Менелая — Википедия

Теорема Менелая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.

Если точки {\displaystyle A',B'} и {\displaystyle C'} лежат соответственно на сторонах {\displaystyle BC,CA} и {\displaystyle AB} треугольника {\displaystyle \triangle ABC} или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

{\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}

где {\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}}, {\displaystyle {\frac {CA'}{A'B}}} и {\displaystyle {\frac {BC'}{C'A}}} обозначают отношения направленных отрезков.

  • В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
    {\displaystyle {\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.}
  • Тригонометрический эквивалент:
{\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1}, где все углы — ориентированные.
{\displaystyle {\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.}
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.}

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]

  1. ↑ На самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки.
  2. ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678