ru.wikipedia.org

Теорема Софи Жермен — Википедия

Теорема Софи Жермен — это утверждение, что если переменные x, y и z в уравнении $x^{5}+y^{5}=z^{5}$ являются нечетными простыми целыми числами, то одна из переменных должна делиться на 5. Решение теоремы Софи Жермен изложила в письме Пьеру Ферма в 1808 году. Эта доказательство является частным случаем решения Великой теоремы Ферма^[1].

Исследуя Великую теорему Ферма, Софи Жермен доказала следующую теорему:

Если $p$ — простое число, а для простого числа $q$ верны следующие 2 условия:
1). Среди остатков от деления $p$ -ых степеней на $q$ нет соседних, кроме нуля и единицы.
2). Число $p$ не является $p$ -ой степенью по модулю $q$ .
Тогда для показателя $p$ справедлив первый случай теоремы Ферма (уравнение $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ неразрешимо в натуральных $x,y,z$ , где $xyz$ не делится на $p$ ) ^[2]

В частности, если $p$ и $2p+1$ просты (при этом $p$ называется числом Софи Жермен), то для $p$ справедлив первый случай теоремы Ферма.^[3]

Полезно иметь в виду, что любая $p$ -ая степень $\xi$ по модулю $q=2mp+1$ удовлетворяет сравнению

$\xi ^{2m}\equiv 1{\pmod {p}}$

Действительно, если $\xi =a^{l}{\pmod {p}}$ , где $a\not \equiv 0{\pmod {p}}$ , то по малой теореме Ферма $\xi ^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

При $m=1$ для любого простого $p$ существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению $\xi ^{2}\equiv 1{\pmod {p}}$ , а именно числа $1$ и $-1\equiv p-1{\pmod {p}}$

Поскольку 1 и −1 не являются соседними $l$ -ыми степенями по модулю $p$ , следовательно Условие 2 для $m=1$ выполняется автоматически

Поскольку $l^{2}-1=(l+1)(l-1)$ не может делиться на простое число $2l+1>l+1$ , то при $m=1$ Условие 3 также выполнено

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$ , если хотя бы одно из пяти чисел:

$4l+1,8l+1,10l+1,14l+1,16l+1$

является простым числом^[4]

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$ , если существует такое $m\geq 1$ , что:

1). Число $p=2ml+1$ является простым числом, не делящим числа $D_{m}$

2). Число $l^{2m}-1$ не делится на $p$

Число $D_{m}$ допускает 3 равнозначных определения:

а). $D_{m}=(-1)^{m}\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+\xi ^{j})-1]$ , где $\xi =\cos {\pi \over m}+i\sin {\pi \over m}$

б). $D_{m}$ является определителем матрицы:

$\left({\begin{smallmatrix}C_{1}^{2m}&C_{2}^{2m}&...&C_{2m-1}^{2m}&C_{2m}^{2m}\\C_{2}^{2m}&C_{3}^{2m}&...&C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}\\...&...&...&...&...\\C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}&...&C_{2m-2}^{2m}&C_{2m-1}^{2m}\end{smallmatrix}}\right)$

в). $D_{m}$ представляет собой т. н. результант многочленов $x^{2m}-1$ и $(x+1)^{2m}-1$ ^[5]

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше^[6].

↑ Асланов Р.М.О. История науки: роль женщин-математиков франции // Современный учитель дисциплин естественнонаучного цикла. Сборник материалов Международной научно-практической конференции / Ответственный редактор Т.С. Мамонтова. — 2019. — С. 25-30.
↑ М. М. Постников. Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — С. 24.
↑ М. М. Постников. Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — С. 25.
↑ М. М. Постников. Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — С. 15.
↑ М. М. Постников. Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. — С. 16.
↑ Виноградова Т. В. 2013. 02. 015. Чентина А., Фьокка А. Переписка между Софи Жермен и Карлом Фридрихом Гауссом. Centina A., Fiocca A. The correspondence between Sophie Germain and Carl Friedrich Gauss // Arch. For history of exact Sciences. — CN, 2012. — Vol. 66, n 6. — p. 582—602 //Социальные и гуманитарные науки. Отечественная и зарубежная литература. Сер. 8, Науковедение: Реферативный журнал. 2013 № 2.