ru.wikipedia.org

Топология — Википедия

Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем; пример объекта, изучаемого в топологии.
Гомеоморфность кружки и тороида.

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий:

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии кружка с ручкой и бублик (полноторий) неотличимы. При этом часто топология применяется к объектам, далёким от геометрических.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (упрощённо: это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).

Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии[1]

Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.

Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». [2]

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре (цикл статей Analysis situs), Александрову, Урысону, Брауэру.

Основная статья: Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях.

Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов и четырёхмерную топологию.

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

  1. ↑ J. J. O’Connor, E. F. Robertson. History of Topology Архивная копия от 12 октября 2014 на Wayback Machine — The MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews.
  2. ↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П., 1981, с. 98..