ru.wikipedia.org

Накрытие — Википедия

{\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}} — Пример накрытия: накрытие $\mathbb {R} \to S^{1}$ окружности $S^{1}$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел $\mathbb {R}$

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$ , такое, что у любой точки $y\in Y$ найдётся окрестность $U\subset Y$ , полный прообраз которой $p^{-1}(U)$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $V_{k}\subset X$ :

$p^{-1}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots$ ,

причём на каждой области $V_{k}$ отображение $p:\,V_{k}\to U$ является гомеоморфизмом между $V_{k}$ и $U$ .

Отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$ называется накрытием, если у любой точки $y\in Y$ имеется окрестность $U\subset Y$ , для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$ , где $\Gamma$ — дискретное пространство, такое что если $\pi :U\times \Gamma \to U$ обозначает естественную проекцию, то

$p|_{p^{-1}(U)}=\pi \circ h$ .

Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
Все двулистные накрытия регулярны.
Универсальное накрытие регулярно.

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности $X$ и $Y$ и также локальной односвязности $Y$ . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами $\pi _{1}(X,x_{0})$ и $\pi _{1}(Y,y_{0})$ : если $p(x_{0})=y_{0}$ , то индуцированный гомоморфизм $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$ , отображает $\pi _{1}(X,x_{0})$ изоморфно на подгруппу в $\pi _{1}(Y,y_{0})$ и, меняя точку $x_{0}$ в $p^{-1}(y_{0})$ , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы $H$ (то есть $H$ — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ на $X$ , причём $p$ оказывается факторотображением на пространство орбит $Y$ . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле $q:[0,1]\to Y$ , $q(0)=q(1)=y_{0}$ , сопоставить единственный путь ${\tilde {q}}:[0,1]\to X$ , для которого ${\tilde {q}}(0)=x_{0}$ и $p{\tilde {q}}=q$ , то точка ${\tilde {q}}(1)$ будет зависеть только от класса этой петли в $G$ и от точки $x_{0}$ . Таким образом, элементу из $G$ отвечает перестановка точек в $p^{-1}(y_{0})$ . Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки $y_{0}$ . Это определяет гомеоморфизм $X$ , коммутирующий с $p$ .

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в $p^{-1}(y_{0})$ , то есть имеется действие $\pi _{1}(Y,y_{0})$ на $p^{-1}(y_{0})$ , называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$ или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ однозначно строится накрытие $p:X\to Y$ , для которого образ $\pi _{1}(X,x_{0})$ есть $H$ .

Для любого отображения $f$ линейно связного пространства $(Z,z_{0})$ в $(Y,y_{0})$ поднятие его до отображения ${\tilde {f}}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$ существует тогда и только тогда, когда образ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ лежит в $H$ . Между накрытиями $Y$ имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в $\pi _{1}(Y,y_{0})$ . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).