ru.wikipedia.org

Характеристический многочлен матрицы — Википедия

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Для данной матрицы {\displaystyle A} многочлен {\displaystyle \chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)}, где {\displaystyle E} — единичная матрица, является многочленом от {\displaystyle \lambda }, который называется характеристическим многочленом матрицы {\displaystyle A} (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение {\displaystyle Av=\lambda v} имеет ненулевое решение, то {\displaystyle (A-\lambda E)v=0}, значит матрица {\displaystyle A-\lambda E} вырождена и её определитель {\displaystyle \det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )} равен нулю.

Доказательство:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}-\lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E)\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\end{aligned}}}

{\displaystyle \chi _{BA}(\lambda )\,=\,\lambda ^{n-m}\,\chi _{AB}(\lambda )}.