sh.wikipedia.org

Fibonaccijev broj – Wikipedija/Википедија

  • ️Wed Mar 14 2018

(Preusmjereno sa stranice Fibonaccijev niz)

Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

{\displaystyle f_{0}=0}
{\displaystyle f_{1}=1}
{\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},\;\;n\geq 2}

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Ako znamo Fibonačijeve brojeve {\displaystyle F_{m}} i {\displaystyle F_{n}} onda možemo naći broj {\displaystyle F_{m+n}} po formuli

{\displaystyle F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}}

Također imamo

{\displaystyle F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})}

{\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}}

Uopšteno

{\displaystyle F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}}

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} koji je korjen jednačine {\displaystyle x^{2}-x-1=0} i

{\displaystyle x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0}

Iz Binetove formule

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}

Gdje je

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots }
{\displaystyle \varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots }

Dalje imamo

{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}

i

{\displaystyle (\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}}

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}}

Zadovoljena je i relaciija

{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}}

Neka su {\displaystyle a} i {\displaystyle b} izabrani tako da je {\displaystyle U_{0}=0} i {\displaystyle U_{1}=1}onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi {\displaystyle a} i {\displaystyle b} zadovoljavaju relaciju

{\displaystyle a+b=0}

{\displaystyle a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}

Odnosno imamo

{\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a}

Uzimajući {\displaystyle U_{0}} i {\displaystyle U_{1}} kao početne varijable imamo

{\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1}

Odnosno

{\displaystyle a={\frac {U_{1}-U_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}}
{\displaystyle b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}}.

Posmatrajmo sada

{\displaystyle \left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}

Za {\displaystyle n\geq 0}, broj {\displaystyle F_{n}} najbliži cio broj je {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}, koji se može dobiti iz funkcije

{\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}

ili

{\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.}

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

{\displaystyle n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },}

gdje se {\displaystyle \log _{\varphi }(x)} može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

{\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

{\displaystyle F_{m}} je djeljiv sa {\displaystyle F_{n}} ako i samo ako je {\displaystyle m} djeljivo sa {\displaystyle n}( bez {\displaystyle n=2})

{\displaystyle F_{m}} je prost ako je {\displaystyle m} prost broj sa isključenjem {\displaystyle m=4}

{\displaystyle F_{13}=233}

Obratno ne važi tj ako je {\displaystyle m} prost broj {\displaystyle F_{m}} ne mora biti prost

{\displaystyle F{19}=4181=37*113}

Njegov polinom {\displaystyle x^{2}-x-1} ima korjene {\displaystyle \varphi } i {\displaystyle -\varphi ^{-1}}

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}

U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12: {\displaystyle F_{0}=0^{2}=0}, {\displaystyle F_{1}=1^{2}=1}, {\displaystyle F_{2}=1^{2}=1}, {\displaystyle F_{12}=12^{2}=144}.

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je {\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva {\displaystyle F_{n}} za {\displaystyle n=0,1,2,3,....20}[3]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

{\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},}
{\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.}

Niz brojeva {\displaystyle F_{n}} za {\displaystyle n=-8,-7,....0,1,2,....8}[4]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21
  • {\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1}
  • {\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}}
  • {\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1}
  • {\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}}
  • {\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}} (см. рис.)
  • {\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}}
  • {\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}}
  • {\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}}
  • {\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}}

Opšte formule

  • {\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}
  • {\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}
  • {\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}
{\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}, kao i {\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}},

gdje matrice imaju oblik {\displaystyle n\times n}, i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
{\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}
{\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}

Za bilo koji {\displaystyle n}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}

Posljedica

{\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

{\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}}

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.
  1. ↑ 1,0 1,1 Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. ↑ 2,0 2,1 Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. ↑ The Fibonacci series Arhivirano 2018-03-14 na Wayback Machine-u: 03. april 2011.
  4. ↑ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane Arhivirano 2018-02-01 na Wayback Machine-u
  • Ball, Keith M (2003). „8: Fibonacci's Rabbits Revisited”. Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0..
  • Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer.
  • Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd izd.), New Jersey: World Scientific.
  • Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws. New York: Springer. ISBN 978-3-540-66957-9..
  • Lucas, Édouard (1891) (French), Théorie des nombres, 1, Gauthier-Villars.
  • Pisano, Leonardo (2002) (hardback). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sigler, Laurence E, trans. Springer. ISBN 978-0-387-95419-6., 978-0-387-40737-1 (paperback).
  • Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя. Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0.