sl.wikipedia.org

Boyjeva ploskev - Wikipedija, prosta enciklopedija

  • ️Sun Jul 17 2011

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Animacija Boyjeve ploskve

Boyjeva ploskev je imerzija (potopitev, ugreznjenje) realne projektivne ravnine v trirazsežni prostor.

Ploskev je leta 1901 odkril nemški matematik in fizik Werner Boy (1879 – 1914) po nasvetu nemškega matematika Davida Hilberta (1862 – 1943).

Boyjeva ploskev nima robov in ima samo eno stran. Podobna je Kleinovi steklenici, čeprav je od nje topološko različna. Topološko je ekvivalentna rimski ploskvi in stisnjenemu torusu. Ti dve ploskvi nimata singularnosti, ampak sekata samo sebe. Boyjeva ploskev je neorientabilna. Boyjevo ploskev dobimo tudi tako, da pritrdimo Möbiusov trak na rob diska [1].

Mnogo lažje si predstavljamo Kleinovo steklenico kot pa Boyjevo ploskev. Vsak meridian Boyjeve ploskve je središčna črta ozkega Möbiusovega traku.

Ekvator Boyjeve ploskve je drugačna oblika običajnega Möbiusovega traku. Ta trak bi bil trikrat polovično zasukan in ne samo enkrat, tako kot pri običajnem Möbiusovem traku [2].

Na naslednji sliki je prikazan nastanek Boyjeve ploskve.

Simulacija nastanka Boyjeve ploskve.
Povezava med Möbiusovim trakom in Boyjevo ploskvijo.
Parametrizacija Boyjeve ploskve.

Boyjevo ploskev lahko parametriziramo na več načinov. Enega izmed načinov sta izdelala Rob Kusner in Robert Bryant. Parametrična oblika Boyjeve ploskve je za dano kompleksno število {\displaystyle z\,}, katerega velikost je manjša ali enaka 1:

{\displaystyle g_{1}=-{3 \over 2}\mathrm {Im} \left({z(1-z^{4}) \over z^{6}+{\sqrt {5}}z^{3}-1}\right),}
{\displaystyle g_{2}=-{3 \over 2}\mathrm {Re} \left({z(1+z^{4}) \over z^{6}+{\sqrt {5}}z^{3}-1}\right),}
{\displaystyle g_{3}=\mathrm {Im} \left({1+z^{6} \over z^{6}+{\sqrt {5}}z^{3}-1}\right)-{1 \over 2},}
{\displaystyle g=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2},}

kjer je z

{\displaystyle \mathrm {Re} (\dots )} je označen realni del kompleksnega števila
{\displaystyle \mathrm {Im} (\dots )} je označen imaginarni del kompleksnega števila

razen tega pa velja še

{\displaystyle X={g_{1} \over g},}
{\displaystyle Y={g_{2} \over g},}
{\displaystyle Z={g_{3} \over g},}

z X, Y in Z so označene kartezične koordinate točk na površini Boyjeve ploskve. To parametrizacijo imenujemo tudi Bryant-Kusnerjeva parametrizacija.

Boyjeva ploskev je tako cela družina ploskev.

Če v tej parametrični obliki enačbe zamenjamo {\displaystyle z\,} z njegovo konjugirano-kompleksno vrednostjo {\displaystyle -{1 \over z^{\star }},}, potem ostanejo funkcije {\displaystyle g_{1}}, {\displaystyle g_{2}} in {\displaystyle g_{3}}, nespremenjene.

Kot običajno za neorientabilne ploskve (kar tudi projektivna ravnina je) lahko s tremi homogenimi polinomi določimo s preslikavo

{\displaystyle f=(f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z),f_{3}(x,y,z)):\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\,}.

Trije homogeni polinomi so:

{\displaystyle f_{1}(x,y,z)=1/2[(2x^{2}-y^{2}-z^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2yz(y^{2}-z^{2})+zx(x^{2}-z^{2})+xy(y^{2}-x^{2})]\,}
{\displaystyle f_{2}(x,y,z)={\sqrt {3}}/2[(y^{2}-z^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})+zx(z^{2}-x^{2})+xy(y^{2}-x^{2})\,}
{\displaystyle f_{3}(x,y,z)=1/8(x+y+z)[{(x+y+z)}^{3}+4(y-x)(z-y)(x-z)]\,}.

Parametrizacija v {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,} se lahko piše tudi kot

{\displaystyle x={\frac {{\sqrt {2}}\cos ^{2}v\cos(2u)+\cos u\sin(2v)}{2-{\sqrt {2}}\sin(3u)\sin(2v)}}\,}
{\displaystyle y={\frac {{\sqrt {2}}\cos ^{2}v\sin(2u)+\cos u\sin(2v)}{2-{\sqrt {2}}\sin(3u)\sin(2v)}}}
{\displaystyle z={\frac {3\cos ^{2}v}{2-{\sqrt {2}}\sin(3u)\sin(2v)}}\,}

Za u v intervalu {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]\,} in za v intervalu {\displaystyle [0,\pi ]\,}.

Boyjeva ploskev ima trikratno simetrijo. To pomeni, da nam vsak obrat za 120° okoli osi da ploskev, ki izgleda enako. Boyjevo ploskev lahko razrežemo na tri skladne kose.

  1. ↑ Boyjeva ploskev
  2. ↑ »Opis Boyjeve ploskve« (PDF). Arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 10. oktobra 2008. Pridobljeno 24. julija 2011.
  3. ↑ »Boyjeva ploskev v Concise Encyclopedia of Mathematics«. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 13. avgusta 2007. Pridobljeno 24. julija 2011.