vi.wikipedia.org

Vành – Wikipedia tiếng Việt

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, vành là một trong những cấu trúc đại số cơ bản. Nhiều đối tượng toán học có thể được xem xét như là vành, ví dụ như vành các hàm số liên tục trên một không gian, vành các đa thức một ẩn với hệ số thực, vành các ma trận với hệ số thực, vân vân. Vành có nhiều thuộc tính hơn là nhóm, nhưng lại ít thuộc tính hơn trường, nên nó có một vị trí cân bằng đặc biệt giữa các ngành của toán học.

Một vành có thể là giao hoán hoặc không giao hoán, tùy thuộc xem phép nhân của nó có tính giao hoán hay không. Các vành giao hoán có một vị trí đặc biệt trong lý thuyết số và hình học đại số. Ngành nghiên cứu về các vành giao hoán và các i-đê-an trên vành giao hoán được gọi là đại số giao hoán.

Các vành (không giao hoán) là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong đại số trừu tượng.

Một tập hợp khác rỗng R được gọi là vành nếu trên đó có hai luật hợp thành trong R mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "×" (phép nhân) thoả mãn các điều kiện sau:

R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:
1. Phép cộng có tính kết hợp: $\forall x,y,z\in R:(x+y)+z=x+(y+z)\,$
2. Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là $\exists 0\in R,\forall x\in R$ : $0+x=x+0=x\,$
3. Mọi phần tử của R có phần tử nghịch đảo: $\forall x,\exists x':x+x'=x'+x=0$
4. Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là: $\forall x,y\in R:x+y=y+x$
Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là
1. $\forall x,y,z\in R:x.(y+z)=x.y+x.z$ (phân phối phải)
2. $\forall x,y,z\in R:(x+y).z=x.z+y.z$ (phân phối trái)
Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là $\forall x,y,z\in R:(x.y).z=x.(y.z)\,$
Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là $\exists 1\in R,\forall x\in R:1.x=x.1=x\,$

Tuy nhiên, có trường phái khác, định nghĩa một vành không có điều kiện phép nhân phải có phần tử đơn vị. Trong trường phái này, vành có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.

Nhiều trường phái cho rằng vành không cần tính chất phần tử đơn vị và không cần tính chất kết hợp trong phép nhân. Thí dụ, các loại vành Lie được gọi là vành nhưng phép nhân không có tính chất kết hợp. Người theo trường phái này dùng chữ vành kết hợp để gọi một vành trong đó phép nhân có tính kết hợp và để phân biệt giữa hai vành kết hợp và vành không kết hợp.

Một số nguyên Gauss (hay số nguyên phức) là một số phức mà các phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss, với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, thường ký hiệu là Z[i].

Trong vành số nguyên Gauss, ta cũng có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên như: chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư,... Khái niệm đóng vai trò quan trọng đối với các số nguyên Gauss là chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa là: $\|a+b.i\|=a^{2}+b^{2}$ . Có những kết quả khá thú vị như: nếu $\|Z\|$ là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss.

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A.

Các vành con đặc biệt:

Cho R là một vành, tập con A $\subset$ R. Các mệnh đề sau là tương đương:

A là vành con của R;
$\forall$ x,y $\in$ A, x ± y $\in$ A, x.y $\in$ A, -x và -y $\in$ A.

Giao của họ bất kỳ các vành con của R là vành con của R

Nếu R là vành giao hoán, có đơn vị thì iđean sinh bởi tập con của R:

{a₁,a₂,...,a_k}

là tập hợp các phần tử dạng:

a₁.x₁+a₂.x₂+...+a_k.x_k

trong đó x₁,x₂,...,x_k $\in$ R

Nếu R là vành có đơn vị của R và A là ideal của R chứa đơn vị thì A=R.
Tập ℕ, ℤ và các tập con của nó đều không phải là các ideal của tập số thực.

$R/A=\{x+A|x\in R\}$

được gọi là tập thương của R theo A.

Trên tập thương R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
- (x+A)+(y+A)=(x+y)+A
- (x+A).(y+A)=(x.y)+A

Khi đó có thể chứng minh R/A là một vành, vành này được gọi là vành thương của R theo A.

Ví dụ:

Cho n là số nguyên dương. Tập $n.\mathbb {Z}$ là ideal của $\mathbb {Z}$ . Vành thương $\mathbb {Z}$ / $n.\mathbb {Z}$ chính là vành các lớp đồng dư theo môđun n.

giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và A là một ideal của X khi đó

X/A là miền nguyên khi và chỉ khi A là ideal nguyên tố.
X/A là trường khi và chỉ khi Α là ideal tối đại.

f(a + b) =f(a) + f(b)
f(a.b) = f(a).f(b)

Nếu đồng cấu f là đơn ánh (hoặc toàn ánh) thì tương ứng f được gọi là đơn cấu vành(hoặc toàn cấu vành).
Nếu đồng cấu f là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu vành.
Nếu R'=R thì f được gọi là tự đồng cấu của vành R.
Nếu có đồng cấu (hoặc đẳng cấu)f từ vành R đến vành Rthì R được gọi là đồng cấu (hoặc đẳng cấu) với R.

Khái niệm
- Cho đồng cấu vành f: R $\to$ R'.

Tập con của R gồm các phần tử của R có ảnh là phần tử không của R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)

Ker(f)={x $\in$ R| f(x)=0}

- Tập f(R) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Im(f).
Tính chất

Ker(f) là ideal của R và Im(f) là vành con của R'.
Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={0}
Với mọi đồng cấu f:R $\to$ R', Im(f) đẳng cấu với vành thương R/Ker(f).

Vành cùng với đồng cấu vành tạo thành phạm trù các vành, được ký hiệu là Ring (từ "vành" trong tiếng Anh). Ring là một phạm trù lớn, cụ thể.

Phạm trù các vành giao hoán được ký hiệu là CRing. CRing tương đương với phạm trù các lược đồ a-phin.

Những người góp công lớn trong việc nghiên cứu vành đại số và ideal là các nhà toán học Đức mà đại diện là: E. Kummer (1810-1893); R. Dedekin (1831-1936) và đặc biệt là nhà toán học nữ E. Noether (1882-1935). Khi chứng minh bài toán Fermat lớn, E. Kummer đã sử dụng phương pháp xuống thang trên tập số nguyên nhưng mọi cố gắng đều thất bại. Để khắc phục ông đã xét bài toán trong lớp vành thực sự chứa Z. Trên lớp vành này ông phải làm việc với các số ideal là mầm mống của khái niệm ideal sau này.người đưa khái niệm ideal là Dedekin và người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và ideal trừu tượng là E. Noether.