Triedro de Frenet-Serret

Figura 2.5: O vetor tangente dr→(t) dt

Observação 2.3.1. Quando r→(t) representa a trajetória de uma partícula ao longo do tempo, a derivada dr→(t) dt é a velocidade v→(t) da partícula. Neste caso, o vetor tangente unitário é o versor associado a v→(t):

v→(t) = v(t)v̂(t) = v(t)T→(t).

A norma de v→(t), denotada por v(t), é chamada de velocidade escalar. O vetor T→(t) indica o sentido e a direção da velocidade.

Figura 2.6: Triedro de Frenet-Serret

Solução. Primeiro calculamos

v→(t) := r→′(t):

v→(t) = dr→ dt = −2ti→ + t(2 + 3t)j→ + t(2 − 3t)k→,

cuja norma é dada por:

v→2 = 4t2 + t2(2 + 3t)2 + t2(2 − 3t)2 = t2(12 + 18t2).

Logo T→ = v→ ∥v→∥ = −2 12+18t2i→ + 2+3t 12+18t2j→ + 2−3t 12+18t2k→.

Derivando essa última expressão em relação a t, temos:

dT→ dt = 36t (12 + 18t2)3∕2i→ + 36(1 − t) (12 + 18t2)3∕2j→ − 36(1 + t) (12 + 18t2)3∕2k→.

E para normalizar sem trocar seu sentido definimos:

u→ = ti→ + (1 − t)j→ − (1 + t)k→,

o que implica:

∥u→∥2 = t2 + (1 − t)2 + (1 + t)2 = 3t2 + 2.

Então:

N→ = dv→ dt ∥dv→ dt ∥ = u→ ∥u→∥ = t 3t2 + 2i→ + 1 − t 3t2 + 2j→ − 1 + t 3t2 + 2k→.

Finalmente B→ = T→ ×N→ calculado via

B→ = T→ ×N→ = i→ j→ k→ −2 12+18t2 2+3t 12+18t2 2−3t 12+18t2 t 3t2 +2 1−t 3t2 +2 −1−t 3t2 +2 = (−4 − 6t2)i→ − (2 + 3t2)j→ − (2 + 3t2)k→ 12 + 18t23t2 + 2 = − 2 6 i→ − 1 6j→ − 1 6k→.

♢

ER 2.3.2. Um erro comum entre estudantes é substituir a definição de vetor binormal unitário B→ = T→ ×N→ pela expressão espúria dada por

dN→ dt dN→ dt .

Calcule esta expressão para o movimento circular uniforme e verifique que ela é igual a −T→ e, portanto, perpendicular a B→.

Solução. Considere

a e

w constantes positivas e a trajetória dada por:

r→(t) = a cos ⁡ (wt)i→ + asen ⁡ (wt)j→ r→′(t) = −awsen ⁡ (wt)i→ + aw cos ⁡ (wt)j→ ∥r→′(t)∥ = |aw| = aw.

T→(t) = r→′(t) ∥r→′(t)∥ = − awsen ⁡ (wt)i→ + aw cos ⁡ (wt)j→ aw = −sen ⁡ (wt)i→ + cos ⁡ (wt)j→

N→(t) = T→′(t) ∥T→′(t)∥ = − w cos ⁡ (wt) − wsen ⁡ (wt) w = − cos ⁡ (wt) −sen ⁡ (wt)

N→′(t) ∥N→′(t)∥ = wsen ⁡ (wt) − w cos ⁡ (wt) w = sen ⁡ (wt) − cos ⁡ (wt) = −T→

♢

E 2.3.1. Calcule r→′(t 0) e esboce o gráfico de r→(t) juntamente com o vetor tangente r→′(t 0).

• r→(t) = ti→ + t2j→, t0 = 2.
• r→(t) = e−ti→ + e2tj→, t0 = ln ⁡ (2).
• r→(t) = 2 sen ⁡ (t)i→ + j→ + 2 cos ⁡ (t)k→, t0 = π 2 .

E 2.3.2. Encontre os vetores unitários T→ e N→ para as curvas abaixo em t = t0.

• r→(t) = 5 cos ⁡ (t)i→ + 5 sen ⁡ (t)j→, t0 = π 3 .
• r→(t) = (t2 − 1)i→ + tj→, t0 = 1.

Resposta.

• T→ = −3 2 ,1 2, N→ = −1 2, − 3 2 .
• T→ = 2 5, 1 5, N→ = 1 5, − 2 5.

E 2.3.3. Represente graficamente o terno de vetores T→, N→ e B→ e verifique através da regra da mão direita as seguintes identidades:

• B→ = T→ ×N→
• T→ = N→ ×B→
• N→ = B→ ×T→

Use a identidade vetorial dada por

u→ × v→ ×w→ = v→ u→ ⋅w→ −w→ u→ ⋅v→

para obter as identidades b e c a partir de a.

E 2.3.4. O vetor binormal unitário foi definido em aula como B→(t) = T→(t) ×N→(t). Argumente, sem cálculos, que ele também poderia ser definido como

B→(t) = r→′(t) ×r→″ ⁡(t) ∥r→′(t) ×r→″ ⁡(t)∥.

E 2.3.6. Considere a trajetória dada pela equações paramétricas

x = tsen ⁡ (t) y = t cos ⁡ (t) z = 0

Esboce gráfico dessa trajetória para 0 ≤ t ≤ 2π, indicando os pontos inicial e final. Esboce o triedro T→, N→ e B→ nos instantes t = π∕4, t = 3π∕4, t = 5π∕4, t = 7π∕4.(Obs.: Não é necessário calcular analiticamente o triedro.) Considere a identidade vetorial d dt∥r→(t)∥ = r→ ⋅ dr→ dt . O sinal dessa expressão é compatível com seu desenho?

Resposta.

E 2.3.7. Um erro comum entre estudantes é substituir a definição de vetor binormal unitário B→ = T→ ×N→ pela expressão espúria dada por

dN→ dt dN→ dt .

Calcule esta expressão para o movimento circular uniforme e verifique que ela é igual a −T→ e, portanto, perpendicular a B→.

Resposta.

T→ = 2 6+18t3i→ + −1+3t3∕2 6+18t3 j→ + 1+3t3∕2 6+18t3k→,

N→ = −2t3∕2 6+18t3i→ + 1+t3∕2 6+18t3j→ + 1−t3∕2 6+18t3k→ e

B→ = −i→ 3 − j→ 3 + k→ 3.

E 2.3.9. Represente graficamente o terno de vetores T→,N→ e B→ e verifique através da regra da mão direita as seguintes identidades:

• B→ = T→ ×N→
• T→ = N→ ×B→
• N→ = B→ ×T→

Use a identidade vetorial dada por

u→ × v→ ×w→ = v→ u→ ⋅w→ −w→ u→ ⋅v→

para obter as identidades b e c a partir de a.

[Dica: Use o fato que T→ ⋅T→ = N→ ⋅N→ = B→ ⋅B→ = 1 e T→ ⋅N→ = T→ ⋅B→ = N→ ⋅B→ = 0.

E 2.3.10. Considere a trajetória dada pela equações paramétricas

x = tsen ⁡ (t) y = t cos ⁡ (t) z = 0

Esboce gráfico dessa trajetória para 0 ≤ t ≤ 2π, indicando os pontos inicial e final. Esboce o triedro T→, N→ e B→ no instante t = π∕2.(Obs.: Não é necessário calcular analiticamente o triedro.) Considere a identidade vetorial dr2 dt = 2r→ ⋅ dr→ dt no instante t = π∕2, ela é compatível com seu desenho?

Resposta. Para o comentário sobre a derivada da norma ao quadrado, observe que

r2 = t2, assim:

r→ ⋅ dr→ dt = 1 2 dr2 dt = t > 0

Em t = π∕2, r→ = π 2 i→, isso é compatível com o fato de que a tangente tem componente positivo nessa direção (não é paralelo ao eixo y como na circunferência).

E 2.3.11. Um erro comum é substituir a definição de vetor normal unitário pela expressão espúria dada por:

r→″ ⁡(t) ∥r→″ ⁡(t)∥.

Encontre uma condição necessária suficiente para que essa fórmula produza o resultado correto supondo ∥r→′(t)∥≠0.

Resposta. A condição é

d dt∥r→′(t)∥ = 0

Resposta. O vetor

N→ se mantém e os outros dois invertem de sentido.