Método de Newton-Raphson

Figura 3.6: Interpretação do método de Newton.

Teorema 3.4.1 (Método de Newton). Sejam f ∈ C2([a,b]) com x∗ ∈ (a,b) tal que f(x∗) = 0 e:

Escolhendo ρ > 0 tal que:

definimos a bacia de atração do método de Newton pelo conjunto:

Então, para qualquer x(1) ∈ K ρ(x∗) a iteração do método de Newton:

fornece uma sequência x(n) que converge para x∗, isto é, x(n) → x∗ quando n →∞. Além disso, temos a seguinte estimativa de erro a priori:

e a seguinte estimativa de erro a posteriori:

Demonstração. Para

n ∈ ℕ,

n ≥ 2, temos:

Agora, para estimar o lado direito desta equação, usamos o polinômio de Taylor de grau 1 da função f(x) em torno de x = x(n), isto é:

Pela mudança de variável t = x(n) + s(x(n) − x∗), observamos que o resto deste polinômio de Taylor na forma integral é igual a:

Assim, da cota da segunda derivada de f(x), temos:

Se x(n) ∈ K ρ(x∗), então de (3.132) e (3.135) temos:

Isto mostra que se x(n) ∈ K ρ(x∗), então x(n+1) ∈ K ρ(x∗), isto é, x(n) ∈ K ρ(x∗) para todo n ∈ ℝ.

Agora, obtemos a estimativa a priori de (3.4.2), pois:

Logo:

donde também vemos que x(n) → x∗ quando n →∞, pois q < 1.

Por fim, para provarmos a estimativa a posteriori tomamos a seguinte expansão em polinômio de Taylor:

Aqui, temos:

e, então, conforme acima:

Com isso e do teorema do valor médio, concluímos:

■

Resposta. raiz:0,82413, processo iterativo:

x(n+1) = x(n) + cos(x)−x2 sen (x)+2x

-->x=1  
-->x=x+(cos(x)-x^2)/(sin(x)+2*x)  
-->x=x+(cos(x)-x^2)/(sin(x)+2*x)  
-->x=x+(cos(x)-x^2)/(sin(x)+2*x)  
-->x=x+(cos(x)-x^2)/(sin(x)+2*x)

E 3.4.2. Considere o problema de calcular as soluções positivas da equação:

• Use o método gráfico para isolar as duas primeiras raízes positivas em pequenos intervalos. Use a teoria para argumentar quanto à existência e unicidade das raízes dentro intervalos escolhidos.
• Calcule cada uma das raízes pelo método de Newton com oito dígitos significativos e discuta a convergência.

Resposta.

• Primeiramente, deve-se observar que a função tg (x) não está definida quando x é um múltiplo ímpar de π 2 , pelo que devemos cuidado nas singularidades. Traçamos o gráfico da função f(x) = tg (x) − 2x2 no Scilab usando os seguintes comandos:

  -->deff(’y=f(x)’,’y=tan(x)-2*x^2’)  
  -->plot([0:.01:1.3],f)

  Observamos facilmente uma raiz no intervalo (0,5, 0,6) e outra no intervalo (1,2, 1,3). Como a função f(x) é contínua fora dos pontos de singularidade da tangente, é fácil verificar que existe pelo menos uma solução nos intervalos dados pelo teorema de Bolzano 3.1.1: f(0,5) ≈ 0,046302 > 0 (3.145) f(0,6) ≈ −0,035863 < 0 (3.146) f(1,2) ≈ −0,30784e − 1 < 0 (3.147) f(1,3) ≈ 0,22210e − 1 > 0 (3.148) (3.149)

  Para provar a unicidade da solução em cada intervalo, precisamos mostra que a função é monótona, ou seja, a derivada não muda de sinal em cada intervalo: f′(x) = sec 2(x) − 4x = 1 cos 2(x) − 4x ≤ 1 cos 2(0,6) − 4 ∗ 0,5 < 0,x ∈ [0,5, 0,6] (3.150) f′(x) = sec 2(x) − 4x = 1 cos 2(x) − 4x ≥ 1 cos 2(1,2) − 4 ∗ 1,3 > 0,x ∈ [1,2, 1,3] (3.151) (3.152)

• Para recalcular as raízes pelo método de Newton, basta executar a iteração:

  x(n+1) = x(n) − f(x(n)) f′(x(n) .

  (3.153)

Em relação à observação, o erro se deveu à falta de cuidado em compreender o problema antes de tentar resolvê-lo, em especial, à falta de observar que a função é descontínua em múltiplos ímpares de π 2 . Nestes pontos, a função f(x) troca de sinal, mas não passa por zero.

E 3.4.3. Considere a equação

trace o gráfico com auxílio do computador e verifique que ela possui uma raiz positiva. Encontre uma aproximação para esta raiz pelo gráfico e use este valor para inicializar o método de Newton e obtenha uma aproximação para a raiz com 8 dígitos significativos. (Use o comando format(’v’,16) para alterar a visualização no Scilab.)

E 3.4.4. Isole e encontre as cinco primeiras raízes positivas da equação com 6 dígitos corretos através de traçado de gráfico e do método de Newton.

Dica: a primeira raiz positiva está no intervalo (0, 0,02). Fique atento.

Resposta.

0,0198679;

0,533890;

0,735412;

1,13237 e

1,38851.

Resposta.

− 99.99970,

− 0.3376513;

− 1.314006.

Resposta.

x(0) = C.I. (3.156) x(n+1) = x(n) 2 − Ax(n) (3.157) (3.158)

Resposta.

x0 = C.I. (3.159) x(n+1) = x(n) 1 − 1 n + A nx(n) (3.160)

Resposta.

x0 = C.I. (3.161) x(n+1) = x(n) + x(n) − Ax(n) 2 = (3 − A)x(n) 2 (3.162) (3.163)

E 3.4.13. Considere a função dada por ψ(x) = ln 15 − ln(x) (3.164)

definida para x ∈ 0,e15

• Use o teorema do ponto fixo para provar que se x(0) pertence ao intervalo [1,3], então a sequência dada iterativamente por

  x(n+1) = ψ(x(n)),n ≥ 0

  (3.165)

  converge para o único ponto fixo, x∗, de ψ. Construa a iteração x(n+1) = ψ(x(n)) e obtenha numericamente o valor do ponto fixo x∗. Expresse a resposta com 5 algarismos significativos corretos.

• Construa a iteração do método de Newton para encontrar x∗, explicitando a relação de recorrência e iniciando com x0 = 2. Use o computador para obter a raiz e expresse a resposta com oito dígitos significativos corretos.