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子集 - 维基百科，自由的百科全书

  • ️Mon Mar 13 2023
A是B的子集，B是A的超集。

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的关系被称为“包含”。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（∀a∈A，则a∈B），则集合A称为集合B的子集，记为{\displaystyle A\subseteq B}或{\displaystyle B\supseteq A}，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即：{\displaystyle \forall a\in A}，有{\displaystyle a\in B}，则{\displaystyle A\subseteq B}。

若{\displaystyle A}和{\displaystyle B}为集合，且{\displaystyle A}的所有元素都是{\displaystyle B}的元素，则可表示為：

任何集合{\displaystyle B}皆是本身的子集（{\displaystyle B\subseteq B}）。而{\displaystyle B}的子集中不等于{\displaystyle B}的集合，称为真子集，若{\displaystyle A}是{\displaystyle B}的真子集，写作{\displaystyle A\subsetneqq B}。

假设有{\displaystyle A}和{\displaystyle B}两个集合，如果{\displaystyle A}中的每个元素都在{\displaystyle B}中，则：

也可以说

如果{\displaystyle A}是{\displaystyle B}的子集，但{\displaystyle A}不等于{\displaystyle B}（即{\displaystyle B}中至少存在一个元素不在{\displaystyle A}集合中），则：

也可以说

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：[1]

A是B的子集。

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若{\displaystyle A,B,C}是集合，则：

自反性：
  • {\displaystyle A\subseteq A}
反对称性：
传递性：

这个命题说明：对任意集合{\displaystyle S}，{\displaystyle S}的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若{\displaystyle A,B,C}是集合{\displaystyle S}的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：
存在并运算：
存在交运算：

命题4：对任意两个集合{\displaystyle A}和{\displaystyle B}，下列表述等价：

  • {\displaystyle A\subseteq B}
  • {\displaystyle A\cap B=A}
  • {\displaystyle A\cup B=B}
  • {\displaystyle A-B=\varnothing }
  • {\displaystyle B'\subseteq A'}

这个命题说明：表述"{\displaystyle A\subseteq B}"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

  1. ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始内容存档于2023-03-13） （英语）.
  2. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03）
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）
  4. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始内容 (PDF)存档于2013-01-23）
  5. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
  • 冪集：某集合的全部子集组成的集合。