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可觀察量 - 维基百科，自由的百科全书

{\displaystyle S_{z}} — 斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的 $S_{z}$ 為上旋，另一道銀原子束的 $S_{z}$ 為下旋。在這裏， $S_{z}$ 是可觀察量。

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

假設，物理量 $O$ 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 ${\hat {O}}$ ，可能有很多不同的本徵值 $O_{i}$ 與對應的本徵態 $|e_{i}\rangle$ ，這些本徵態 $|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成了具有正交歸一性的基底：^[1]^:96-99

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$ ；

其中， $\delta _{ij}$ 是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態 $|\psi \rangle$ ，都可以用這基底的本徵態表示為

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$ ；

其中， $c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$ 是複係數，是在量子態 $|e_{i}\rangle$ 裏找到量子態 $|\psi \rangle$ 的機率幅。^[2]^:50

假設，量子態 $|\psi \rangle$ 等於這些本徵態之中的一個本徵態 $|e_{k}\rangle$ ，則對於這量子系統，測量可觀察量 $O$ ，得到的結果必定等與本徵值 $O_{k}$ ，機率為1，量子態 $|\psi \rangle$ 是「確定態」。

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。^[1]^:106-109

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$ 。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符 ${\hat {O}}$ 的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態 $|e_{i}\rangle$ ，則改變為這本徵態的機率為 $p_{i}=|c_{i}|^{2}$ ，測量結果是本徵值 $O_{i}$ ，得到這本徵值的機率也為 $p_{i}$ 。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態 $|e_{i}\rangle$ 。

將算符 ${\hat {O}}$ 作用於量子態 $|\psi \rangle$ ，會形成新量子態 $|\phi \rangle$ ：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$ 。

從左邊乘以量子態 $\langle \psi |$ ，經過一番運算，可以得到

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$ 。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量 $O$ 的期望值：

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$ 。

每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量 $O$ 的期望值是實數：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$ 。

對於任意量子態 $|\psi \rangle$ ，這關係都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 是 ${\hat {O}}$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$ 。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。^[1]^:96-99

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：^[1]^:110-112

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$ ；

其中， ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}$ 分別是可觀察量 $A$ 、 $B$ 的算符。

這兩種算符 ${\hat {A}}$ 與 ${\hat {B}}$ 絕對不會有共同的基底。一般而言， ${\hat {A}}$ 的本徵態與 ${\hat {B}}$ 的本徵態不同^{[註 1]}假設量子系統的量子態為 $|\psi \rangle$ 。對於算符 ${\hat {A}}$ ，所有本徵值為 $a_{i}$ 的本徵態 $|\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成一個基底。量子態 $|\psi \rangle$ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle$ ；

其中， $c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle$ 是複係數，是在量子態 $|\alpha _{i}\rangle$ 裏找到量子態 $|\psi \rangle$ 的機率幅。^[2]^:50

對於算符 ${\hat {B}}$ ，所有本徵值為 $b_{i}$ 的本徵態 $|\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ ，形成了另外一個基底。量子態 $|\psi \rangle$ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle$ ；

其中， $d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle$ 是複係數，是在量子態 $|\beta _{i}\rangle$ 裏找到量子態 $|\psi \rangle$ 的機率幅。^[2]^:50

對於量子系統的可觀察量 $A$ 做測量，可能得到的結果是各種本徵態 $|\alpha _{i}\rangle$ 的本徵值 $a_{i}$ ，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為 $a_{i}$ 的機率是 $|c_{i}|^{2}$ 。

假設測量的結果是本徵值 $a_{j}$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\alpha _{j}\rangle$ 。假若立刻再測量可觀察量 $A$ ，由於量子態仍舊是本徵態 $|\alpha _{j}\rangle$ ，所得到的測量值是本徵值 $a_{i}$ 機率為1。假若立刻再對本徵態 $|\alpha _{j}\rangle$ 測量可觀察量 $B$ ，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值 $b_{k}$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\beta _{k}\rangle$ 。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$ 。

設定 $\chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$ 。假設， $A$ 與 $B$ 是兩個不相容可觀察量，則 $\chi >0$ 。而 $A$ 的不確定性與 $B$ 的不確定性的乘積 $\Delta A\ \Delta B$ ，必定大於或等於 $\chi$ 。

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置 $x$ ，動量 $p$ 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}$ ，

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}$ 。

在三維空間裏，角動量算符的x-分量 ${\hat {L}}_{x}$ 是厄米算符。因為

$\langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle$ ；

其中， $y$ 與 $z$ 分別是位置的y-分量與z-分量， $p_{y}$ 與 $p_{z}$ 分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地，角動量算符的y-分量 ${\hat {L}}_{y}$ 也是厄米算符。

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 （英语）