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乘法 - 维基百科，自由的百科全书

3×4 = 12

在数学中，乘法（multiplication）是加法的連續運算，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積（product）。

{\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n}

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。 但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 {\displaystyle n\times a} ，唸作「n times a」。

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

  • {\displaystyle 5\times 2}
  • {\displaystyle 5\cdot 2}
  • {\displaystyle 5*2}
  • {\displaystyle (5)(2)}

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「{\displaystyle \times }」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以「{\displaystyle \times }」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「{\displaystyle \cdot }」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「{\displaystyle *}」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如{\displaystyle 5x}和{\displaystyle xy}。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即{\displaystyle 5\times 2}不會表示成{\displaystyle 52}。

乘積可以用大写希臘字母Π（Pi，{\displaystyle \Pi }）來表示：

{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}

兩個整數的積是：

{\displaystyle mn=\sum _{k=1}^{n}m}

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

{\displaystyle mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}}

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

將任何數乘以一都會等於該數本身，即{\displaystyle 1x=x}，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即{\displaystyle 0x=0}。

當{\displaystyle x}是量，{\displaystyle y}是自然數，乘法的递归定義：

{\displaystyle 0x=0}
{\displaystyle xy=x+x(y-1)}
孙子筹算乘法
印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见西元400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。