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圆 - 维基百科，自由的百科全书

  • ️Sun Oct 04 2020
圓

  圆周C

  直徑D

  半徑R

  原點O

類型圓錐曲線
鮑爾斯縮寫
circ在维基数据编辑
對稱群O(2)
面積πR2
周长C = 2πR

圆 （英語：circle）的第一个定义是：根據歐幾里得的《几何原本》，在同一平面内到定点 {\displaystyle O} 的距离等于定长 {\displaystyle R} 的点的集合[1]。此定点 {\displaystyle O} 称为圆心（center of a circle），此定长 {\displaystyle R} 称为半径（radius）。

圆的第二个定义是：平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆[2]；此圆属于一种阿波罗尼奥斯圆（circles of Apollonius）。

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。[3]到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。[4]当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。[5]

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。[4]大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。 古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等。[4]

圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用{\displaystyle O}表示）。[6]

圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦（英語：chord）。如图2，{\displaystyle A}、{\displaystyle B}分别为圆上任意两点，那么{\displaystyle {\overline {AB}}}就是圆的弦。

圆周上任意两点间的部分叫做弧（英語：arc），通常用符号{\displaystyle \frown }表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。[6]

{\displaystyle k=\{X\in E\mid {}{\overline {MX}}<=r\}}

假如一条直线与圆相交僅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相交的点叫做切点。[2]如下图，直线{\displaystyle {\overline {QP}}}与圆只有一个交点{\displaystyle P}，那么{\displaystyle {\overline {QP}}}就是圆的切线。过圆上一点的切线：设该点为{\displaystyle P(x_{o},y_{o})}，圆的方程为{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}，则圆在该点的切线方程为：{\displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}

  • 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
  • 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
  • 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

一条直线与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线（英語：Secant Theorem）。[2]如图，直线{\displaystyle {\overline {QO}}}与圆有两个公共点，那么直线{\displaystyle {\overline {QO}}}就是圆的割线。

θ 的正割是从O到Q的距离。

圆的一周的长度称为圆的周长（记作{\displaystyle C}）。圆的周长与半径的关系是：

{\displaystyle C=\pi d} 或 {\displaystyle C=2\pi r}，

其中{\displaystyle \pi }是圆周率。

圆的面积与半径的关系是：{\displaystyle A=\pi r^{2}}。

圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称轴为经过圆心{\displaystyle O}的任意直线，圆的对称中心为圆心{\displaystyle O}。[6]

图2：弦、圆周角、圆心角

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距[b]相等，此定理也称“一推三定理”。[6]

圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。[6]
如上图，{\displaystyle M}为圆心，{\displaystyle A,B,C}分别为圆周上的点，那麼：{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}

证明：{\displaystyle \because BM=CM,AM=CM}
{\displaystyle \because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM}
{\displaystyle \therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM}
{\displaystyle \because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM}
{\displaystyle \therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)}
即：{\displaystyle \angle AMB=2\;\angle ACB}

圆周角定理的推论：

  1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
  2. 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧的半圆，所对的弦是直径。
  3. 若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
垂径定理示意图

垂径定理是一种常用的几何学的定理。

定理定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。[7]

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。

  • 平分弦所对的优弧
  • 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是平分弦所对的两条弧）
  • 平分弦（不是直径）
  • 垂直于弦
  • 经过圆心
  1. BE过圆心O，AD=DC，则BE垂直AC并平分AC、AEC两条弧。即“平分非直径的弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两弧。”
  2. AD=DC且BE垂直AC，则BE过圆心O且平分AC、AEC两条弧。即“弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的两弧。”
  3. BE是直径，{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}（{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}）＝{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}（{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}），则BE过圆心O，{\displaystyle {\overset {\frown }{AE}}}（{\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}）＝{\displaystyle {\overset {\frown }{CE}}}（{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}）。即“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”

兩個不同大小的圓（半徑分別為{\displaystyle r}及{\displaystyle R}，圓心距為{\displaystyle d}，其中{\displaystyle r<R}）之間的關係如下：[2]

  1. {\displaystyle d=0}：兩圓不相交（內含），互為同心圓。
  2. {\displaystyle 0<d<R-r}：兩圓不相交（內含，亦稱「內離」）。
  3. {\displaystyle d=R-r}：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。
  4. {\displaystyle d=R+r}：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。
  5. {\displaystyle R-r<d<R+r}：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。
  6. {\displaystyle d>R+r}：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。[2]
在方程{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}中，若圆心{\displaystyle (a,b)}为定点，{\displaystyle r}为参变数，则它表示同心圆的圆系方程。若{\displaystyle r}是常量，{\displaystyle a}（或{\displaystyle b}）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于{\displaystyle x}轴或{\displaystyle y}轴）的圆系方程。

  • 椭圆是平面上到两个固定点的距离之和为常数的点之轨迹，椭圆的形状可以用离心率来表示；圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个焦点重合，离心率{\displaystyle \varepsilon =0}的情况。

截面為圓的三維形狀有：

  • 當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面积最大。[8]
  1. ^ L为扇形弧长，变形公式{\displaystyle L=r\cdot \theta }
  2. ^ 弦心距指的是圆心到弦的距离
  1. ^ 欧几里得[原著]/燕晓东（译）. 几何原本. 南京: 江苏人民出版社. 2014. ISBN 9787214067593. 圆是一个在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点就是圆心。
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 高中数学必修1. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107177057. （原始内容存档于2017-06-13）.
  3. ^ 历史. 北京: 人民教育出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787107155598. （原始内容存档于2017-06-13）.
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 圆的历史. [2015-08-25]. （原始内容存档于2021-11-21）.
  5. ^ 古代人是如何搬运重物的？. [2015-08-25]. （原始内容存档于2016-03-04）.
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014 [2020-10-04]. ISBN 9787303136933. （原始内容存档于2017-06-13）.
  7. ^ 欧几里得. 第I卷第12个命题. 几何原本.
  8. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  9. ^ 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原載於科學月刊第九卷第四期. [2015-08-26]. （原始内容存档于2014-06-23）.