zh.wikipedia.org

期望值 - 维基百科，自由的百科全书

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能狀態平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的數。期望值可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次「點數」的期望值是3.5，计算如下：

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}$

不過如上所說明的，3.5雖是「點數」的期望值，但卻不属于可能结果中的任一个，沒有可能擲出此點數。

如果 $X$ 是在概率空间 $(\Omega ,F,P)$ 中的随机变量，那么它的期望值 $\operatorname {E} (X)$ 的定义是：

$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P$

并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。

如果 $X$ 是离散的随机变量，输出值为 $x_{1},x_{2},\ldots$ ，和输出值相应的概率为 $p_{1},p_{2},\ldots$ （概率和为1）。

若级数 $\sum _{i}p_{i}x_{i}$ 绝对收敛，那么期望值 $\operatorname {E} (X)$ 是一个无限数列的和。

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}$

如果 $X$ 是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数 $f(x)$ ，若积分 $\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 绝对收敛，那么 $X$ 的期望值可以计算为：

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$ 。

是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

在统计学中，估算变量的期望值时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，再用所得数据的平均值来估计此变量的期望值。

在概率分布中，期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似。

在賭博中，期望值又稱預期值、長期效果值、合理價值、期待值，都能完全貼和，而其計算的方式為：

$\mathrm {EV}$ （期望值） $=$ 勝的概率 $\times$ 獲勝的籌碼 $-$ 輸的概率 $\times$ 輸掉的籌碼

期望值也可以通过方差计算公式来计算方差：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}$

（平方的期望值減期望值的平方）

在机器学习领域的文章中，常常在期望算子的下标中指定 $x$ 服从的分布。例如：随机变量 $x$ 的函数 $g(x)$ 的期望常常写成这样：

$\mathbb {E} _{x\sim p(x)}[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

$p(x)$ 是 $x$ 的概率密度函数。