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绝热指数 - 维基百科，自由的百科全书

絕熱指數（英語：adiabatic index）是指等壓熱容（{\displaystyle C_{P}}）和等容（等體積）熱容（{\displaystyle C_{V}}）的比值，也稱為熱容比（英語：heat capacity ratio）、比熱比（英語：specific heat ratio）或絕熱膨脹係數（英語：isentropic expansion factor），常用符號{\displaystyle \gamma }或{\displaystyle \kappa }表示。後者常在化學工程領域中使用，在機械工程領域中，會使用字母K表示絕熱指數[1]：

{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}}

其中，{\displaystyle C}是氣體的熱容，{\displaystyle c}是氣體比熱容，而下標{\displaystyle P}及{\displaystyle v}分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。

絕熱指數也可表示為以下的形式

{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}}

其中，{\displaystyle C_{P,m}}是氣體的等壓摩尔熱容，也就是一摩尔氣體的等壓熱容，{\displaystyle C_{v,m}}是氣體的等容摩尔熱容。

絕熱指數也是理想氣體在等熵過程（準靜態、可逆的絕熱過程）下的多方指數，即以下體積和壓強關係式中體積的次方：

{\displaystyle pV^{\gamma }={\text{const}}}

其中 {\displaystyle p} 是壓力而 {\displaystyle V} 是體積。

理想氣體的绝热指數

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理想氣體的熱容不隨溫度變化。焓及內能分別為{\displaystyle H=C_{p}T}及{\displaystyle U=C_{V}T}。因此绝热指數也可以視為是焓及內能的比值：

{\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}}

理想氣體的定壓莫耳熱容及定容莫耳熱容及氣體常數（{\displaystyle R}）之間有以下的關係

{\displaystyle C_{p,m}-C_{V,m}=R\!}

因此莫耳熱容也可以用绝热指數（{\displaystyle \gamma }）及氣體常數表示：

{\displaystyle C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}}

和自由度的關係

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理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容（{\displaystyle C_{V,m}}）、等壓摩爾熱容（{\displaystyle C_{p,m}}）及绝热指数{\displaystyle \kappa }之間的關係
{\displaystyle C_{V,m}} {\displaystyle C_{p,m}} {\displaystyle \kappa ={\frac {C_{p,m}}{C_{V,m}}}}
單原子氣體 {\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {5}{3}}=1.{\overline {6}}}
雙原子氣體 {\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {7}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {7}{5}}=1.4}
三原子氣體 {\displaystyle {\frac {6}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {8}{2}}\cdot R} {\displaystyle {\frac {4}{3}}=1.{\overline {3}}}

理想氣體的绝热指數（{\displaystyle \gamma }）和分子的自由度之間，有以下的關係：

{\displaystyle \gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}}

單原子氣體的自由度是3，因此绝热指數為：

{\displaystyle \gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67},

雙原子氣體，在室溫下的自由度為5（平移自由度3，旋轉自由度2，室溫下不考慮振動自由度），因此绝热指數為：

{\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1.4}.

空氣主要由雙原子氣體組成，包括約78%的氮氣（N2）及約21%的氧氣（O2），室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體，因此其绝热指數為：

{\displaystyle \gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4}.

以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。

熱力學的關係

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在一些特定的工程應用中（如計算氣體經過導管或閥的流速），{\displaystyle C_{p}-C_{v}=nR}（n為莫耳數）的關係不夠準確，因此定體積熱容{\displaystyle C_{v}}需要由實測求得，若依下式計算定體積熱容{\displaystyle C_{v}}，即得求得精確的绝热指數{\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{v}}}}：

{\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}}

其中{\displaystyle C_{p}}的數值可以由查表求得。

上述的定義可由來推導嚴謹的狀態方程式（例如Peng-Robinson狀態方程式），這些方程式所求得的值和實測值非常接近，因此定體積熱容或绝热指數可直接用方程式計算，不需查表。也可以利用有限差分法來計算其數值。

各種氣體的绝热指数

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各種氣體的绝热指数[2][3]
溫度 氣體 γ   溫度 氣體 γ   溫度 氣體 γ
−181°C H2 1.597 200°C 乾空氣 1.398 20°C NO 1.400
−76°C 1.453 400°C 1.393 20°C N2O 1.310
20°C 1.410 1000°C 1.365 −181°C N2 1.470
100°C 1.404 2000°C 1.088 15°C 1.404
400°C 1.387 0°C CO2 1.310 20°C Cl2 1.340
1000°C 1.358 20°C 1.300 −115°C CH4 1.410
2000°C 1.318 100°C 1.281 −74°C 1.350
20°C He 1.660 400°C 1.235 20°C 1.320
20°C H2O 1.330 1000°C 1.195 15°C NH3 1.310
100°C 1.324 20°C CO 1.400 19°C Ne 1.640
200°C 1.310 −181°C O2 1.450 19°C Xe 1.660
−180°C Ar 1.760 −76°C 1.415 19°C Kr 1.680
20°C 1.670 20°C 1.400 15°C SO2 1.290
0°C 乾空氣 1.403 100°C 1.399 360°C Hg 1.670
20°C 1.400 200°C 1.397 15°C C2H6 1.220
100°C 1.401 400°C 1.394 16°C C3H8 1.130

參照

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參考

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  1. ^ Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
  2. ^ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
  3. ^ Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524