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黎曼级数定理 - 维基百科,自由的百科全书

黎曼级数定理(亦称黎曼重排定理),是一个有关於无穷级数性质的数学定理,得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明,如果一个实数无穷级数若是条件收敛的,它的项在重新排列後,重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值,甚至发散

许多有限项级数具有的性質,在一般的无穷级数不一定滿足,例如一般的有限项级数可以重新排列各項,其級數和不會改變,但在无穷级数中,只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相关定义

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给定无穷级数{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}},其部分和为:{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}。如果部分和的数列

{\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}

收敛于某个数值:{\displaystyle \ell },则级数收敛。也就是说,如果对于任何的{\displaystyle \epsilon >0},总存在一个整数N,使得如果{\displaystyle n\geq N},则

{\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }.

那么级数{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}收敛。如果级数{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}收敛,但级数{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }发散,则称此级数是条件收敛的。[1]:149

定理的陈述

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假设{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数{\displaystyle C},都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列{\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)},使得

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}

此外,也存在另一种排列{\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)},使得

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}

类似地,也可以有办法使它的部分和趋于{\displaystyle -\infty },或没有任何极限。[2]:192

反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[2]:193

例子

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交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子:

{\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}

收敛,而

{\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}

调和级数,它是发散的。虽然在标准的表示法中,交错调和级数收敛于ln(2),我们可以把它的项重新排列,使它收敛于任何一个数,甚至发散。例如,如果排列为以下的形式,

{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
那么这时的和等于{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}

可以看出,它的和是原来的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111

趋近任一个实数

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将交错调和级数重排趋向1.5的步骤:从1开始,将正项按顺序相加,直到超过1.5(红点处),然后加入负项,直到低于1.5(绿点),再开始累加正项……

用不同的排列方法,可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上,由于调和级数{\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{n}}}是发散的,它的部分和可以近似估计为:

{\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}

其中{\displaystyle o(1)}表示一个当N趋于无穷大时的无穷小{\displaystyle \gamma }欧拉常数。如果将调和级数{\displaystyle A_{h}}中所有负项(也就是所有偶数项)相加,得到的级数会是:

{\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}

它的部分和是:

{\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}

因此所有正项相加的级数{\displaystyle A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }的部分和是:

{\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}

这也是一个发散级数,趋向正无穷。因此,对任意给定的正实数{\displaystyle C},可以使用以下的算法来构造出趋向{\displaystyle C}的重排级数{\displaystyle A^{\sigma }}的每一项:

  1. 从第一项起,将{\displaystyle A_{h}}中的正项(奇数项)从前往后放入,一直放到超过{\displaystyle C}为止:必定存在一个自然数{\displaystyle N_{1}},使得{\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}}(假设{\displaystyle A_{0}=0})。将第1至第{\displaystyle N_{1}}项定义为:
    {\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}
  2. 从第{\displaystyle N_{1}+1}项开始,将{\displaystyle A_{h}}中的负项(偶数项)从前往后放入,一直放到小于{\displaystyle C}为止:必定存在一个自然数{\displaystyle N_{2}>N_{1}},使得{\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}}。将第{\displaystyle N_{1}+1}至第{\displaystyle N_{2}}项定义为:
    {\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}

交替重复这两步来重排级数,可以将重排级数的部分和{\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}保持在{\displaystyle C}上下,而因为{\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}是重复第k步时首次“跨过”{\displaystyle C}时候的值,因而它与{\displaystyle C}的差距必定不超过“跨越”时的“步长”,也就是{\displaystyle {\frac {1}{N_{k}}}}。随着{\displaystyle N_{k}}越来越大,{\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }}{\displaystyle C}的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数{\displaystyle A^{\sigma }}最终会收敛于{\displaystyle C}[3]:111-113

证明

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对一般的条件收敛级数,也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正项构成的级数发散到正无穷大,所有负项构成的级数发散到负无穷大,所以每次超出(低于)目标值{\displaystyle C}以后,只要不停地累加,必然能够再次低于(超出)目标值{\displaystyle C};其次,调和级数是由{\displaystyle {\frac {1}{n}}}相加而成,而随着{\displaystyle n}趋向无穷,{\displaystyle {\frac {1}{n}}}趋向于0,也就是说“步长”趋向0,所以最终能够收敛。所以只需要证明,任何条件收敛级数都满足这两个性质:

  1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的;
  2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一

设有给定的条件收敛级数{\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}},级数和为{\displaystyle S}。为了简便起见,假设{\displaystyle A}中每一项都不等于0(否则可以随意将它们重排在任何地方)。{\displaystyle A}中的正项和负项必定都有无穷多个。将{\displaystyle A}中所有大于0的项按照它们原来在{\displaystyle A}中的顺序重新标号排列,可以得到由所有正项排列而成的级数{\displaystyle A^{+}=\sum _{n}a_{n}^{+}}。同样可以建立由所有负项排列而成的级数{\displaystyle A^{-}=\sum _{n}a_{n}^{-}}

{\displaystyle A^{+}}是一个正项级数,所以它要么收敛到某个定值,要么发散到正无穷大。假设{\displaystyle A^{+}}收敛到某个定值{\displaystyle S^{+}},那么可以证明{\displaystyle A^{-}}也是收敛级数,级数和为{\displaystyle S-S^{+}}。因而可以证明,级数{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}}也是收敛级数,这与{\displaystyle A}是条件收敛级数的设定矛盾。所以,{\displaystyle A^{+}}发散到正无穷大。同理可证,{\displaystyle A^{-}}发散到负无穷大。[1]:154-155

性质二

{\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}是一个条件收敛的级数,级数和为{\displaystyle S}。这说明,级数{\displaystyle A}的部分和{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}趋向极限{\displaystyle S}。所以对任意{\displaystyle \epsilon >0},存在自然数{\displaystyle M>0}使得对任意{\displaystyle N>M},都有:

{\displaystyle |S_{N}-S|<\epsilon .}

所以对任意{\displaystyle N>M+1}

{\displaystyle |a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .}

这说明当{\displaystyle N}趋于无穷大时,{\displaystyle a_{N}}趋于0.

证明了性质一与性质二後,就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数{\displaystyle C},不妨假设{\displaystyle C\geqslant 0}. 首先将{\displaystyle A^{+}}的项按顺序累加,直到部分和超过{\displaystyle C}为止,然后再将{\displaystyle A^{-}}的项按顺序累加在其後,直到部分和小于{\displaystyle C}为止,接着再将{\displaystyle A^{+}}剩余的项按顺序累加在其後,直到部分和超过{\displaystyle C}为止……这个算法可以一直进行下去,因为根据性质一,{\displaystyle A^{+}}{\displaystyle A^{-}}都是发散的。而在执行算法的过程中,部分和与{\displaystyle C}会越来越接近。因为无论是在部分和低于{\displaystyle C},逐项增加到超过{\displaystyle C}的过程中,还是在部分和超过了{\displaystyle C},逐项减少到低于{\displaystyle C}的过程中,部分和与{\displaystyle C}的差距(绝对值)都不超过前一次“跨越”{\displaystyle C}值的那一刻,部分和与{\displaystyle C}的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”{\displaystyle C}值时的“步长”。假设第{\displaystyle k}次“跨越”的是在累加第{\displaystyle N_{k}}项的时候发生的,那么直到第{\displaystyle k+1}次“跨越”时,部分和与{\displaystyle C}的差距都小于等于{\displaystyle a_{N_{k}}}。随着{\displaystyle k}趋于无穷大,{\displaystyle N_{k}}也趋于无穷大,因而根据性质二,{\displaystyle a_{N_{k}}}趋于0,也就是说部分和与{\displaystyle C}的差距趋于0。这等价于说重排後的级数{\displaystyle A^{\sigma }}收敛于{\displaystyle C}

如果{\displaystyle C<0},只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第{\displaystyle k}次累加正项要超越的值从{\displaystyle C}改为{\displaystyle C+k},然后累加负项直到低于{\displaystyle C+k},再开始第{\displaystyle k+1}次累加正项直到超越{\displaystyle C+k+1},如此以往,就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1,将每次累加负项要低于的值设为0,那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动,从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。[2]:193-197[1]:154-156

推廣

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此定理可推廣至斯坦尼兹定理英语Lévy–Steinitz theorem。給定一個複數收斂級數∑ an,則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能:

  • 級數∑ an為絕對收斂,所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
  • 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合,則S要不為整個複數平面C,要不為複數平面上C上的一條線L
{\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}

更一般的說,給定一個有限維度實向量空間E,考慮其向量組成的收斂級數,則重排級數之和的集合為E仿射子空間

参考来源

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.
  3. ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.